其法再自乘则得之。
有堑堵,谓如土墙者,两边杀,两头齐。
其法并上下广,折半以为之广以直高乘之,以直高以股,以上广减下广,余者半之为勾。
勾股求弦,以为斜高。
有刍童,谓如覆斗者,四面皆杀。
其法倍上长加入下长,以上广乘之;倍下长加入上长,以下广乘之;并二位,以高乘之,六而一。
隙积者,谓积之有隙者,如累棋、层坛及洒家积罂之类。
虽似覆斗,四面皆杀,缘有刻缺及虚隙之处,用刍童法求之,常失于数少。
余思而得之,用争童法为上位;下位别列:下广以上广减之,余者以高乘之,六而一,并入上位。
假令积罂:最上行纵横各二罂,最下行各十二罂,行行相次。
先以上二行相次,率至十二,当十一行也。
以刍童法求之,倍上行长得四,并入下长得十六,以上广乘之,得之三十二;又倍下行长得二十四,并入上长,得二十六,以下广乘之,得三百一十二;并二位得三百四十四,以高乘之,得三千七百八十四。
重列下广十二,以上广减之,余十,以高乘之,得一百一十,并入上位,得三千八百九十四;六而一,得六百四十九,此为罂数也。
刍童求见实方之积,隙积求见合角不尽,益出羡积也。
履亩之法,方圆曲直尽矣,未有会圆之术。
凡圆田,既能拆之,须使会之復圆。
古法惟以中破圆法拆之,其失有及三倍者。
余别为拆会之术,置圆田,径半之以为弦,又以半径减去所割数,余者为股;各自乘,以股除弦,余者开方除为勾,倍之为割田之直径。
以所割之数自乘倍之,又以圆径除所得,加入直径,为割田之弧。
再割亦如之,减去已割之弧,则再割之弧也。
假令有圆田,径十步,欲割二步。
以半径为弦,五步自乘得二十五;又以半径减去所割二步,余三步为股,自乘得九;用减弦外,有十六,开平方,除得四步为勾,倍之为所割直径。
以所割之数二步自乘为四,倍之得为八,退上一位为四尺,以圆径除。
今圆径十,已足盈数,无可除。